3.544 \(\int \frac{\cot ^2(c+d x)}{(a+b \tan (c+d x))^{3/2}} \, dx\)

Optimal. Leaf size=192 \[ -\frac{b \left (a^2+3 b^2\right )}{a^2 d \left (a^2+b^2\right ) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}+\frac{3 b \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )}{a^{5/2} d}+\frac{i \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a-i b}}\right )}{d (a-i b)^{3/2}}-\frac{i \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a+i b}}\right )}{d (a+i b)^{3/2}}-\frac{\cot (c+d x)}{a d \sqrt{a+b \tan (c+d x)}} \]

[Out]

(3*b*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*d) + (I*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b
]])/((a - I*b)^(3/2)*d) - (I*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(3/2)*d) - (b*(a^2 +
3*b^2))/(a^2*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) - Cot[c + d*x]/(a*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.634609, antiderivative size = 192, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 13, number of rules used = 8, integrand size = 23, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.348, Rules used = {3569, 3649, 3653, 3539, 3537, 63, 208, 3634} \[ -\frac{b \left (a^2+3 b^2\right )}{a^2 d \left (a^2+b^2\right ) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}+\frac{3 b \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )}{a^{5/2} d}+\frac{i \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a-i b}}\right )}{d (a-i b)^{3/2}}-\frac{i \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a+i b}}\right )}{d (a+i b)^{3/2}}-\frac{\cot (c+d x)}{a d \sqrt{a+b \tan (c+d x)}} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[Cot[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2),x]

[Out]

(3*b*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/(a^(5/2)*d) + (I*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a - I*b
]])/((a - I*b)^(3/2)*d) - (I*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/((a + I*b)^(3/2)*d) - (b*(a^2 +
3*b^2))/(a^2*(a^2 + b^2)*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) - Cot[c + d*x]/(a*d*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])

Rule 3569

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Si
mp[(b^2*(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1))/(f*(m + 1)*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)), x] + D
ist[1/((m + 1)*(a^2 + b^2)*(b*c - a*d)), Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[a*(b*c -
a*d)*(m + 1) - b^2*d*(m + n + 2) - b*(b*c - a*d)*(m + 1)*Tan[e + f*x] - b^2*d*(m + n + 2)*Tan[e + f*x]^2, x],
x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && I
ntegerQ[2*m] && LtQ[m, -1] && (LtQ[n, 0] || IntegerQ[m]) &&  !(ILtQ[n, -1] && ( !IntegerQ[m] || (EqQ[c, 0] &&
NeQ[a, 0])))

Rule 3649

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*t
an[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Simp[((A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(a + b*T
an[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^(n + 1))/(f*(m + 1)*(b*c - a*d)*(a^2 + b^2)), x] + Dist[1/((m + 1)*(
b*c - a*d)*(a^2 + b^2)), Int[(a + b*Tan[e + f*x])^(m + 1)*(c + d*Tan[e + f*x])^n*Simp[A*(a*(b*c - a*d)*(m + 1)
- b^2*d*(m + n + 2)) + (b*B - a*C)*(b*c*(m + 1) + a*d*(n + 1)) - (m + 1)*(b*c - a*d)*(A*b - a*B - b*C)*Tan[e
+ f*x] - d*(A*b^2 - a*(b*B - a*C))*(m + n + 2)*Tan[e + f*x]^2, x], x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, B, C,
n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] && LtQ[m, -1] &&  !(ILtQ[n, -1] && ( !I
ntegerQ[m] || (EqQ[c, 0] && NeQ[a, 0])))

Rule 3653

Int[(((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_)*((A_.) + (B_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)] + (C_.)*tan[(e_.) + (
f_.)*(x_)]^2))/((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[1/(a^2 + b^2), Int[(c + d*Tan[e + f*
x])^n*Simp[b*B + a*(A - C) + (a*B - b*(A - C))*Tan[e + f*x], x], x], x] + Dist[(A*b^2 - a*b*B + a^2*C)/(a^2 +
b^2), Int[((c + d*Tan[e + f*x])^n*(1 + Tan[e + f*x]^2))/(a + b*Tan[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e,
f, A, B, C, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && NeQ[c^2 + d^2, 0] &&  !GtQ[n, 0] &&  !LeQ[n, -
1]

Rule 3539

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[(c
+ I*d)/2, Int[(a + b*Tan[e + f*x])^m*(1 - I*Tan[e + f*x]), x], x] + Dist[(c - I*d)/2, Int[(a + b*Tan[e + f*x]
)^m*(1 + I*Tan[e + f*x]), x], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0]
&& NeQ[c^2 + d^2, 0] &&  !IntegerQ[m]

Rule 3537

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_)*((c_) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]), x_Symbol] :> Dist[(c*
d)/f, Subst[Int[(a + (b*x)/d)^m/(d^2 + c*x), x], x, d*Tan[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, m}, x] &&
NeQ[b*c - a*d, 0] && NeQ[a^2 + b^2, 0] && EqQ[c^2 + d^2, 0]

Rule 63

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> With[{p = Denominator[m]}, Dist[p/b, Sub
st[Int[x^(p*(m + 1) - 1)*(c - (a*d)/b + (d*x^p)/b)^n, x], x, (a + b*x)^(1/p)], x]] /; FreeQ[{a, b, c, d}, x] &
& NeQ[b*c - a*d, 0] && LtQ[-1, m, 0] && LeQ[-1, n, 0] && LeQ[Denominator[n], Denominator[m]] && IntLinearQ[a,
b, c, d, m, n, x]

Rule 208

Int[((a_) + (b_.)*(x_)^2)^(-1), x_Symbol] :> Simp[(Rt[-(a/b), 2]*ArcTanh[x/Rt[-(a/b), 2]])/a, x] /; FreeQ[{a,
b}, x] && NegQ[a/b]

Rule 3634

Int[((a_.) + (b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(m_.)*((c_.) + (d_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_.)*((A_) + (C_.)*
tan[(e_.) + (f_.)*(x_)]^2), x_Symbol] :> Dist[A/f, Subst[Int[(a + b*x)^m*(c + d*x)^n, x], x, Tan[e + f*x]], x]
/; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, A, C, m, n}, x] && EqQ[A, C]

Rubi steps

\begin{align*} \int \frac{\cot ^2(c+d x)}{(a+b \tan (c+d x))^{3/2}} \, dx &=-\frac{\cot (c+d x)}{a d \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}-\frac{\int \frac{\cot (c+d x) \left (\frac{3 b}{2}+a \tan (c+d x)+\frac{3}{2} b \tan ^2(c+d x)\right )}{(a+b \tan (c+d x))^{3/2}} \, dx}{a}\\ &=-\frac{b \left (a^2+3 b^2\right )}{a^2 \left (a^2+b^2\right ) d \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}-\frac{\cot (c+d x)}{a d \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}-\frac{2 \int \frac{\cot (c+d x) \left (\frac{3}{4} b \left (a^2+b^2\right )+\frac{1}{2} a^3 \tan (c+d x)+\frac{1}{4} b \left (a^2+3 b^2\right ) \tan ^2(c+d x)\right )}{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}} \, dx}{a^2 \left (a^2+b^2\right )}\\ &=-\frac{b \left (a^2+3 b^2\right )}{a^2 \left (a^2+b^2\right ) d \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}-\frac{\cot (c+d x)}{a d \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}-\frac{(3 b) \int \frac{\cot (c+d x) \left (1+\tan ^2(c+d x)\right )}{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}} \, dx}{2 a^2}-\frac{2 \int \frac{\frac{a^3}{2}-\frac{1}{2} a^2 b \tan (c+d x)}{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}} \, dx}{a^2 \left (a^2+b^2\right )}\\ &=-\frac{b \left (a^2+3 b^2\right )}{a^2 \left (a^2+b^2\right ) d \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}-\frac{\cot (c+d x)}{a d \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}-\frac{\int \frac{1+i \tan (c+d x)}{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}} \, dx}{2 (a-i b)}-\frac{\int \frac{1-i \tan (c+d x)}{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}} \, dx}{2 (a+i b)}-\frac{(3 b) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{x \sqrt{a+b x}} \, dx,x,\tan (c+d x)\right )}{2 a^2 d}\\ &=-\frac{b \left (a^2+3 b^2\right )}{a^2 \left (a^2+b^2\right ) d \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}-\frac{\cot (c+d x)}{a d \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}-\frac{3 \operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-\frac{a}{b}+\frac{x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \tan (c+d x)}\right )}{a^2 d}-\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(-1+x) \sqrt{a+i b x}} \, dx,x,-i \tan (c+d x)\right )}{2 (i a-b) d}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{(-1+x) \sqrt{a-i b x}} \, dx,x,i \tan (c+d x)\right )}{2 (i a+b) d}\\ &=\frac{3 b \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )}{a^{5/2} d}-\frac{b \left (a^2+3 b^2\right )}{a^2 \left (a^2+b^2\right ) d \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}-\frac{\cot (c+d x)}{a d \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-1-\frac{i a}{b}+\frac{i x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \tan (c+d x)}\right )}{(a-i b) b d}+\frac{\operatorname{Subst}\left (\int \frac{1}{-1+\frac{i a}{b}-\frac{i x^2}{b}} \, dx,x,\sqrt{a+b \tan (c+d x)}\right )}{(a+i b) b d}\\ &=\frac{3 b \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )}{a^{5/2} d}+\frac{i \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a-i b}}\right )}{(a-i b)^{3/2} d}-\frac{i \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a+i b}}\right )}{(a+i b)^{3/2} d}-\frac{b \left (a^2+3 b^2\right )}{a^2 \left (a^2+b^2\right ) d \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}-\frac{\cot (c+d x)}{a d \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}\\ \end{align*}

Mathematica [A]  time = 3.17406, size = 184, normalized size = 0.96 \[ -\frac{\frac{b \left (a^2+3 b^2\right )}{\left (a^2+b^2\right ) \sqrt{a+b \tan (c+d x)}}-\frac{i a^2 \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a-i b}}\right )}{(a-i b)^{3/2}}+\frac{i a^2 \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a+i b}}\right )}{(a+i b)^{3/2}}-\frac{3 b \tanh ^{-1}\left (\frac{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}{\sqrt{a}}\right )}{\sqrt{a}}+\frac{a \cot (c+d x)}{\sqrt{a+b \tan (c+d x)}}}{a^2 d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Integrate[Cot[c + d*x]^2/(a + b*Tan[c + d*x])^(3/2),x]

[Out]

-(((-3*b*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a]])/Sqrt[a] - (I*a^2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a -
I*b]])/(a - I*b)^(3/2) + (I*a^2*ArcTanh[Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]/Sqrt[a + I*b]])/(a + I*b)^(3/2) + (b*(a^2 +
3*b^2))/((a^2 + b^2)*Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]]) + (a*Cot[c + d*x])/Sqrt[a + b*Tan[c + d*x]])/(a^2*d))

________________________________________________________________________________________

Maple [C]  time = 1.487, size = 60223, normalized size = 313.7 \begin{align*} \text{output too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int(cot(d*x+c)^2/(a+b*tan(d*x+c))^(3/2),x)

[Out]

result too large to display

________________________________________________________________________________________

Maxima [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \text{Exception raised: ValueError} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(d*x+c)^2/(a+b*tan(d*x+c))^(3/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

Exception raised: ValueError

________________________________________________________________________________________

Fricas [B]  time = 10.6406, size = 28121, normalized size = 146.46 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(d*x+c)^2/(a+b*tan(d*x+c))^(3/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

[-1/4*(4*sqrt(2)*((a^13 + 3*a^11*b^2 + 2*a^9*b^4 - 2*a^7*b^6 - 3*a^5*b^8 - a^3*b^10)*d^5*cos(d*x + c)^4 - (a^1
3 + 2*a^11*b^2 - 2*a^9*b^4 - 8*a^7*b^6 - 7*a^5*b^8 - 2*a^3*b^10)*d^5*cos(d*x + c)^2 - (a^11*b^2 + 4*a^9*b^4 +
6*a^7*b^6 + 4*a^5*b^8 + a^3*b^10)*d^5 + 2*((a^12*b + 4*a^10*b^3 + 6*a^8*b^5 + 4*a^6*b^7 + a^4*b^9)*d^5*cos(d*x
+ c)^3 - (a^12*b + 4*a^10*b^3 + 6*a^8*b^5 + 4*a^6*b^7 + a^4*b^9)*d^5*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))*sqrt((a^6 +
3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 + (a^9 - 6*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*d^2*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4
+ b^6)*d^4)))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*
b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d^4))*(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))^(3/4)*a
rctan(((3*a^12 + 14*a^10*b^2 + 25*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 5*a^4*b^8 - 2*a^2*b^10 - b^12)*d^4*sqrt((9*a^4*b^2 -
6*a^2*b^4 + b^6)/((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d^4))*sqrt(1/
((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)) + (3*a^9 + 8*a^7*b^2 + 6*a^5*b^4 - a*b^8)*d^2*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a
^2*b^4 + b^6)/((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d^4)) + sqrt(2)*
(2*(a^13 + 6*a^11*b^2 + 15*a^9*b^4 + 20*a^7*b^6 + 15*a^5*b^8 + 6*a^3*b^10 + a*b^12)*d^7*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^
2*b^4 + b^6)/((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d^4))*sqrt(1/((a^
6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)) + (a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)*d^5*s
qrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^
12)*d^4)))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 + (a^9 - 6*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*d^2*sqrt(1/((a^6
+ 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt(((9*a^8*b^2 + 12*a^6*b^4 - 2*a^4*b^6
- 4*a^2*b^8 + b^10)*d^2*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))*cos(d*x + c) + sqrt(2)*((9*a^8*b^3
+ 12*a^6*b^5 - 2*a^4*b^7 - 4*a^2*b^9 + b^11)*d^3*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))*cos(d*x + c
) + 2*(9*a^5*b^3 - 6*a^3*b^5 + a*b^7)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 + (a^9 - 6*a^5*b
^4 - 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*d^2*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)
)*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))^(1/4) + (
9*a^5*b^2 - 6*a^3*b^4 + a*b^6)*cos(d*x + c) + (9*a^4*b^3 - 6*a^2*b^5 + b^7)*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*(1/((a
^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))^(3/4) + sqrt(2)*(2*(3*a^15*b + 17*a^13*b^3 + 39*a^11*b^5 + 45*a^9*b^7
+ 25*a^7*b^9 + 3*a^5*b^11 - 3*a^3*b^13 - a*b^15)*d^7*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/((a^12 + 6*a^10*b^2 +
15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d^4))*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^
4)) + (3*a^12*b + 14*a^10*b^3 + 25*a^8*b^5 + 20*a^6*b^7 + 5*a^4*b^9 - 2*a^2*b^11 - b^13)*d^5*sqrt((9*a^4*b^2 -
6*a^2*b^4 + b^6)/((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d^4)))*sqrt(
(a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 + (a^9 - 6*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*d^2*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*
a^2*b^4 + b^6)*d^4)))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*(1/(
(a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))^(3/4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)) + 4*sqrt(2)*((a^13 + 3*a^11*b^
2 + 2*a^9*b^4 - 2*a^7*b^6 - 3*a^5*b^8 - a^3*b^10)*d^5*cos(d*x + c)^4 - (a^13 + 2*a^11*b^2 - 2*a^9*b^4 - 8*a^7*
b^6 - 7*a^5*b^8 - 2*a^3*b^10)*d^5*cos(d*x + c)^2 - (a^11*b^2 + 4*a^9*b^4 + 6*a^7*b^6 + 4*a^5*b^8 + a^3*b^10)*d
^5 + 2*((a^12*b + 4*a^10*b^3 + 6*a^8*b^5 + 4*a^6*b^7 + a^4*b^9)*d^5*cos(d*x + c)^3 - (a^12*b + 4*a^10*b^3 + 6*
a^8*b^5 + 4*a^6*b^7 + a^4*b^9)*d^5*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 + (a^9
- 6*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*d^2*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b
^4 + b^6))*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a
^2*b^10 + b^12)*d^4))*(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))^(3/4)*arctan(-((3*a^12 + 14*a^10*b^2 + 25*
a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 5*a^4*b^8 - 2*a^2*b^10 - b^12)*d^4*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/((a^12 + 6*a^10*b
^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d^4))*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^
6)*d^4)) + (3*a^9 + 8*a^7*b^2 + 6*a^5*b^4 - a*b^8)*d^2*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/((a^12 + 6*a^10*b^2
+ 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d^4)) - sqrt(2)*(2*(a^13 + 6*a^11*b^2 + 15*a^9*b^4
+ 20*a^7*b^6 + 15*a^5*b^8 + 6*a^3*b^10 + a*b^12)*d^7*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/((a^12 + 6*a^10*b^2 +
15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d^4))*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d
^4)) + (a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)*d^5*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/
((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d^4)))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 +
3*a^2*b^4 + b^6 + (a^9 - 6*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*d^2*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4
)))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt(((9*a^8*b^2 + 12*a^6*b^4 - 2*a^4*b^6 - 4*a^2*b^8 + b^10)*d^2*sqrt(1/((
a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))*cos(d*x + c) - sqrt(2)*((9*a^8*b^3 + 12*a^6*b^5 - 2*a^4*b^7 - 4*a^2*b
^9 + b^11)*d^3*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))*cos(d*x + c) + 2*(9*a^5*b^3 - 6*a^3*b^5 + a*b
^7)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 + (a^9 - 6*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*d^2*sqrt
(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x
+ c))/cos(d*x + c))*(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))^(1/4) + (9*a^5*b^2 - 6*a^3*b^4 + a*b^6)*cos
(d*x + c) + (9*a^4*b^3 - 6*a^2*b^5 + b^7)*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*
d^4))^(3/4) - sqrt(2)*(2*(3*a^15*b + 17*a^13*b^3 + 39*a^11*b^5 + 45*a^9*b^7 + 25*a^7*b^9 + 3*a^5*b^11 - 3*a^3*
b^13 - a*b^15)*d^7*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b
^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d^4))*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)) + (3*a^12*b + 14*a^10*b^3 + 25
*a^8*b^5 + 20*a^6*b^7 + 5*a^4*b^9 - 2*a^2*b^11 - b^13)*d^5*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/((a^12 + 6*a^10*
b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d^4)))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6
+ (a^9 - 6*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*d^2*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)))/(9*a^4*b^2 -
6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6
)*d^4))^(3/4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)) + sqrt(2)*((a^7 - a^3*b^4)*d*cos(d*x + c)^4 - (a^7 - a^5*b^2 - 2
*a^3*b^4)*d*cos(d*x + c)^2 - (a^5*b^2 + a^3*b^4)*d + 2*((a^6*b + a^4*b^3)*d*cos(d*x + c)^3 - (a^6*b + a^4*b^3)
*d*cos(d*x + c))*sin(d*x + c) - ((a^10 - 3*a^8*b^2 - a^6*b^4 + 3*a^4*b^6)*d^3*cos(d*x + c)^4 - (a^10 - 4*a^8*b
^2 + a^6*b^4 + 6*a^4*b^6)*d^3*cos(d*x + c)^2 - (a^8*b^2 - 2*a^6*b^4 - 3*a^4*b^6)*d^3 + 2*((a^9*b - 2*a^7*b^3 -
3*a^5*b^5)*d^3*cos(d*x + c)^3 - (a^9*b - 2*a^7*b^3 - 3*a^5*b^5)*d^3*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))*sqrt(1/((a^6
+ 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 + (a^9 - 6*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 -
3*a*b^8)*d^2*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*(1/((a^6 + 3*a
^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))^(1/4)*log(((9*a^8*b^2 + 12*a^6*b^4 - 2*a^4*b^6 - 4*a^2*b^8 + b^10)*d^2*sqrt(1/
((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))*cos(d*x + c) + sqrt(2)*((9*a^8*b^3 + 12*a^6*b^5 - 2*a^4*b^7 - 4*a^2
*b^9 + b^11)*d^3*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))*cos(d*x + c) + 2*(9*a^5*b^3 - 6*a^3*b^5 + a
*b^7)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 + (a^9 - 6*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*d^2*sq
rt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d
*x + c))/cos(d*x + c))*(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))^(1/4) + (9*a^5*b^2 - 6*a^3*b^4 + a*b^6)*c
os(d*x + c) + (9*a^4*b^3 - 6*a^2*b^5 + b^7)*sin(d*x + c))/cos(d*x + c)) - sqrt(2)*((a^7 - a^3*b^4)*d*cos(d*x +
c)^4 - (a^7 - a^5*b^2 - 2*a^3*b^4)*d*cos(d*x + c)^2 - (a^5*b^2 + a^3*b^4)*d + 2*((a^6*b + a^4*b^3)*d*cos(d*x
+ c)^3 - (a^6*b + a^4*b^3)*d*cos(d*x + c))*sin(d*x + c) - ((a^10 - 3*a^8*b^2 - a^6*b^4 + 3*a^4*b^6)*d^3*cos(d*
x + c)^4 - (a^10 - 4*a^8*b^2 + a^6*b^4 + 6*a^4*b^6)*d^3*cos(d*x + c)^2 - (a^8*b^2 - 2*a^6*b^4 - 3*a^4*b^6)*d^3
+ 2*((a^9*b - 2*a^7*b^3 - 3*a^5*b^5)*d^3*cos(d*x + c)^3 - (a^9*b - 2*a^7*b^3 - 3*a^5*b^5)*d^3*cos(d*x + c))*s
in(d*x + c))*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 + (a^9
- 6*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*d^2*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*
b^4 + b^6))*(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))^(1/4)*log(((9*a^8*b^2 + 12*a^6*b^4 - 2*a^4*b^6 - 4*a
^2*b^8 + b^10)*d^2*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))*cos(d*x + c) - sqrt(2)*((9*a^8*b^3 + 12*a
^6*b^5 - 2*a^4*b^7 - 4*a^2*b^9 + b^11)*d^3*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))*cos(d*x + c) + 2*
(9*a^5*b^3 - 6*a^3*b^5 + a*b^7)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 + (a^9 - 6*a^5*b^4 - 8
*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*d^2*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt
((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))^(1/4) + (9*a^5*
b^2 - 6*a^3*b^4 + a*b^6)*cos(d*x + c) + (9*a^4*b^3 - 6*a^2*b^5 + b^7)*sin(d*x + c))/cos(d*x + c)) + 3*(a^2*b^3
+ b^5 - (a^4*b - b^5)*cos(d*x + c)^4 + (a^4*b - a^2*b^3 - 2*b^5)*cos(d*x + c)^2 - 2*((a^3*b^2 + a*b^4)*cos(d*
x + c)^3 - (a^3*b^2 + a*b^4)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))*sqrt(a)*log(-(8*a*b*cos(d*x + c)*sin(d*x + c) + (8*a^
2 - b^2)*cos(d*x + c)^2 + b^2 + 4*(2*a*cos(d*x + c)^2 + b*cos(d*x + c)*sin(d*x + c))*sqrt(a)*sqrt((a*cos(d*x +
c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c)))/(cos(d*x + c)^2 - 1)) + 4*(2*(a^4*b + 2*a^2*b^3)*cos(d*x + c)^4 - 2*(a^4*
b + 2*a^2*b^3)*cos(d*x + c)^2 - ((a^5 - 3*a*b^4)*cos(d*x + c)^3 + (a^3*b^2 + 3*a*b^4)*cos(d*x + c))*sin(d*x +
c))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c)))/((a^7 - a^3*b^4)*d*cos(d*x + c)^4 - (a^7 - a^5*b^2 -
2*a^3*b^4)*d*cos(d*x + c)^2 - (a^5*b^2 + a^3*b^4)*d + 2*((a^6*b + a^4*b^3)*d*cos(d*x + c)^3 - (a^6*b + a^4*b^
3)*d*cos(d*x + c))*sin(d*x + c)), -1/4*(4*sqrt(2)*((a^13 + 3*a^11*b^2 + 2*a^9*b^4 - 2*a^7*b^6 - 3*a^5*b^8 - a^
3*b^10)*d^5*cos(d*x + c)^4 - (a^13 + 2*a^11*b^2 - 2*a^9*b^4 - 8*a^7*b^6 - 7*a^5*b^8 - 2*a^3*b^10)*d^5*cos(d*x
+ c)^2 - (a^11*b^2 + 4*a^9*b^4 + 6*a^7*b^6 + 4*a^5*b^8 + a^3*b^10)*d^5 + 2*((a^12*b + 4*a^10*b^3 + 6*a^8*b^5 +
4*a^6*b^7 + a^4*b^9)*d^5*cos(d*x + c)^3 - (a^12*b + 4*a^10*b^3 + 6*a^8*b^5 + 4*a^6*b^7 + a^4*b^9)*d^5*cos(d*x
+ c))*sin(d*x + c))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 + (a^9 - 6*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*d^2*sqr
t(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b
^6)/((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d^4))*(1/((a^6 + 3*a^4*b^2
+ 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))^(3/4)*arctan(((3*a^12 + 14*a^10*b^2 + 25*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 5*a^4*b^8 - 2*a^2*b^
10 - b^12)*d^4*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 +
6*a^2*b^10 + b^12)*d^4))*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)) + (3*a^9 + 8*a^7*b^2 + 6*a^5*b^4 -
a*b^8)*d^2*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*
a^2*b^10 + b^12)*d^4)) + sqrt(2)*(2*(a^13 + 6*a^11*b^2 + 15*a^9*b^4 + 20*a^7*b^6 + 15*a^5*b^8 + 6*a^3*b^10 + a
*b^12)*d^7*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a
^2*b^10 + b^12)*d^4))*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)) + (a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*
a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)*d^5*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b
^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d^4)))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 + (a^9 - 6*a^5*b^4 - 8*a^3
*b^6 - 3*a*b^8)*d^2*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt(((9
*a^8*b^2 + 12*a^6*b^4 - 2*a^4*b^6 - 4*a^2*b^8 + b^10)*d^2*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))*co
s(d*x + c) + sqrt(2)*((9*a^8*b^3 + 12*a^6*b^5 - 2*a^4*b^7 - 4*a^2*b^9 + b^11)*d^3*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3
*a^2*b^4 + b^6)*d^4))*cos(d*x + c) + 2*(9*a^5*b^3 - 6*a^3*b^5 + a*b^7)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 +
3*a^2*b^4 + b^6 + (a^9 - 6*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*d^2*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4
)))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 +
3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))^(1/4) + (9*a^5*b^2 - 6*a^3*b^4 + a*b^6)*cos(d*x + c) + (9*a^4*b^3 - 6*a^2*b^5 + b^7)*s
in(d*x + c))/cos(d*x + c))*(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))^(3/4) + sqrt(2)*(2*(3*a^15*b + 17*a^1
3*b^3 + 39*a^11*b^5 + 45*a^9*b^7 + 25*a^7*b^9 + 3*a^5*b^11 - 3*a^3*b^13 - a*b^15)*d^7*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*
b^4 + b^6)/((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d^4))*sqrt(1/((a^6
+ 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)) + (3*a^12*b + 14*a^10*b^3 + 25*a^8*b^5 + 20*a^6*b^7 + 5*a^4*b^9 - 2*a^2*b
^11 - b^13)*d^5*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8
+ 6*a^2*b^10 + b^12)*d^4)))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 + (a^9 - 6*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*
d^2*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b
*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))^(3/4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6
)) + 4*sqrt(2)*((a^13 + 3*a^11*b^2 + 2*a^9*b^4 - 2*a^7*b^6 - 3*a^5*b^8 - a^3*b^10)*d^5*cos(d*x + c)^4 - (a^13
+ 2*a^11*b^2 - 2*a^9*b^4 - 8*a^7*b^6 - 7*a^5*b^8 - 2*a^3*b^10)*d^5*cos(d*x + c)^2 - (a^11*b^2 + 4*a^9*b^4 + 6*
a^7*b^6 + 4*a^5*b^8 + a^3*b^10)*d^5 + 2*((a^12*b + 4*a^10*b^3 + 6*a^8*b^5 + 4*a^6*b^7 + a^4*b^9)*d^5*cos(d*x +
c)^3 - (a^12*b + 4*a^10*b^3 + 6*a^8*b^5 + 4*a^6*b^7 + a^4*b^9)*d^5*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))*sqrt((a^6 + 3*
a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 + (a^9 - 6*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*d^2*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 +
b^6)*d^4)))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^
4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d^4))*(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))^(3/4)*arc
tan(-((3*a^12 + 14*a^10*b^2 + 25*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 5*a^4*b^8 - 2*a^2*b^10 - b^12)*d^4*sqrt((9*a^4*b^2 - 6
*a^2*b^4 + b^6)/((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d^4))*sqrt(1/(
(a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)) + (3*a^9 + 8*a^7*b^2 + 6*a^5*b^4 - a*b^8)*d^2*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^
2*b^4 + b^6)/((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d^4)) - sqrt(2)*(
2*(a^13 + 6*a^11*b^2 + 15*a^9*b^4 + 20*a^7*b^6 + 15*a^5*b^8 + 6*a^3*b^10 + a*b^12)*d^7*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2
*b^4 + b^6)/((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d^4))*sqrt(1/((a^6
+ 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)) + (a^10 + 5*a^8*b^2 + 10*a^6*b^4 + 10*a^4*b^6 + 5*a^2*b^8 + b^10)*d^5*sq
rt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^1
2)*d^4)))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 + (a^9 - 6*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*d^2*sqrt(1/((a^6 +
3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt(((9*a^8*b^2 + 12*a^6*b^4 - 2*a^4*b^6
- 4*a^2*b^8 + b^10)*d^2*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))*cos(d*x + c) - sqrt(2)*((9*a^8*b^3 +
12*a^6*b^5 - 2*a^4*b^7 - 4*a^2*b^9 + b^11)*d^3*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))*cos(d*x + c)
+ 2*(9*a^5*b^3 - 6*a^3*b^5 + a*b^7)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 + (a^9 - 6*a^5*b^
4 - 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*d^2*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))
*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))^(1/4) + (9
*a^5*b^2 - 6*a^3*b^4 + a*b^6)*cos(d*x + c) + (9*a^4*b^3 - 6*a^2*b^5 + b^7)*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*(1/((a^
6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))^(3/4) - sqrt(2)*(2*(3*a^15*b + 17*a^13*b^3 + 39*a^11*b^5 + 45*a^9*b^7 +
25*a^7*b^9 + 3*a^5*b^11 - 3*a^3*b^13 - a*b^15)*d^7*sqrt((9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)/((a^12 + 6*a^10*b^2 + 1
5*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d^4))*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4
)) + (3*a^12*b + 14*a^10*b^3 + 25*a^8*b^5 + 20*a^6*b^7 + 5*a^4*b^9 - 2*a^2*b^11 - b^13)*d^5*sqrt((9*a^4*b^2 -
6*a^2*b^4 + b^6)/((a^12 + 6*a^10*b^2 + 15*a^8*b^4 + 20*a^6*b^6 + 15*a^4*b^8 + 6*a^2*b^10 + b^12)*d^4)))*sqrt((
a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 + (a^9 - 6*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*d^2*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a
^2*b^4 + b^6)*d^4)))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*(1/((
a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))^(3/4))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6)) + sqrt(2)*((a^7 - a^3*b^4)*d*co
s(d*x + c)^4 - (a^7 - a^5*b^2 - 2*a^3*b^4)*d*cos(d*x + c)^2 - (a^5*b^2 + a^3*b^4)*d + 2*((a^6*b + a^4*b^3)*d*c
os(d*x + c)^3 - (a^6*b + a^4*b^3)*d*cos(d*x + c))*sin(d*x + c) - ((a^10 - 3*a^8*b^2 - a^6*b^4 + 3*a^4*b^6)*d^3
*cos(d*x + c)^4 - (a^10 - 4*a^8*b^2 + a^6*b^4 + 6*a^4*b^6)*d^3*cos(d*x + c)^2 - (a^8*b^2 - 2*a^6*b^4 - 3*a^4*b
^6)*d^3 + 2*((a^9*b - 2*a^7*b^3 - 3*a^5*b^5)*d^3*cos(d*x + c)^3 - (a^9*b - 2*a^7*b^3 - 3*a^5*b^5)*d^3*cos(d*x
+ c))*sin(d*x + c))*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6
+ (a^9 - 6*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*d^2*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)))/(9*a^4*b^2 -
6*a^2*b^4 + b^6))*(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))^(1/4)*log(((9*a^8*b^2 + 12*a^6*b^4 - 2*a^4*b^
6 - 4*a^2*b^8 + b^10)*d^2*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))*cos(d*x + c) + sqrt(2)*((9*a^8*b^3
+ 12*a^6*b^5 - 2*a^4*b^7 - 4*a^2*b^9 + b^11)*d^3*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))*cos(d*x +
c) + 2*(9*a^5*b^3 - 6*a^3*b^5 + a*b^7)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 + (a^9 - 6*a^5*
b^4 - 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*d^2*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6
))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))^(1/4) +
(9*a^5*b^2 - 6*a^3*b^4 + a*b^6)*cos(d*x + c) + (9*a^4*b^3 - 6*a^2*b^5 + b^7)*sin(d*x + c))/cos(d*x + c)) - sqr
t(2)*((a^7 - a^3*b^4)*d*cos(d*x + c)^4 - (a^7 - a^5*b^2 - 2*a^3*b^4)*d*cos(d*x + c)^2 - (a^5*b^2 + a^3*b^4)*d
+ 2*((a^6*b + a^4*b^3)*d*cos(d*x + c)^3 - (a^6*b + a^4*b^3)*d*cos(d*x + c))*sin(d*x + c) - ((a^10 - 3*a^8*b^2
- a^6*b^4 + 3*a^4*b^6)*d^3*cos(d*x + c)^4 - (a^10 - 4*a^8*b^2 + a^6*b^4 + 6*a^4*b^6)*d^3*cos(d*x + c)^2 - (a^8
*b^2 - 2*a^6*b^4 - 3*a^4*b^6)*d^3 + 2*((a^9*b - 2*a^7*b^3 - 3*a^5*b^5)*d^3*cos(d*x + c)^3 - (a^9*b - 2*a^7*b^3
- 3*a^5*b^5)*d^3*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)))*sqrt((a^6 + 3
*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6 + (a^9 - 6*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*d^2*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4
+ b^6)*d^4)))/(9*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))^(1/4)*log(((9*a^8*b
^2 + 12*a^6*b^4 - 2*a^4*b^6 - 4*a^2*b^8 + b^10)*d^2*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4))*cos(d*x
+ c) - sqrt(2)*((9*a^8*b^3 + 12*a^6*b^5 - 2*a^4*b^7 - 4*a^2*b^9 + b^11)*d^3*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b
^4 + b^6)*d^4))*cos(d*x + c) + 2*(9*a^5*b^3 - 6*a^3*b^5 + a*b^7)*d*cos(d*x + c))*sqrt((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2
*b^4 + b^6 + (a^9 - 6*a^5*b^4 - 8*a^3*b^6 - 3*a*b^8)*d^2*sqrt(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2*b^4 + b^6)*d^4)))/(9
*a^4*b^2 - 6*a^2*b^4 + b^6))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))*(1/((a^6 + 3*a^4*b^2 + 3*a^2
*b^4 + b^6)*d^4))^(1/4) + (9*a^5*b^2 - 6*a^3*b^4 + a*b^6)*cos(d*x + c) + (9*a^4*b^3 - 6*a^2*b^5 + b^7)*sin(d*x
+ c))/cos(d*x + c)) - 12*(a^2*b^3 + b^5 - (a^4*b - b^5)*cos(d*x + c)^4 + (a^4*b - a^2*b^3 - 2*b^5)*cos(d*x +
c)^2 - 2*((a^3*b^2 + a*b^4)*cos(d*x + c)^3 - (a^3*b^2 + a*b^4)*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))*sqrt(-a)*arctan(sqr
t(-a)*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c))/a) + 4*(2*(a^4*b + 2*a^2*b^3)*cos(d*x + c)^4 - 2*(a
^4*b + 2*a^2*b^3)*cos(d*x + c)^2 - ((a^5 - 3*a*b^4)*cos(d*x + c)^3 + (a^3*b^2 + 3*a*b^4)*cos(d*x + c))*sin(d*x
+ c))*sqrt((a*cos(d*x + c) + b*sin(d*x + c))/cos(d*x + c)))/((a^7 - a^3*b^4)*d*cos(d*x + c)^4 - (a^7 - a^5*b^
2 - 2*a^3*b^4)*d*cos(d*x + c)^2 - (a^5*b^2 + a^3*b^4)*d + 2*((a^6*b + a^4*b^3)*d*cos(d*x + c)^3 - (a^6*b + a^4
*b^3)*d*cos(d*x + c))*sin(d*x + c))]

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\cot ^{2}{\left (c + d x \right )}}{\left (a + b \tan{\left (c + d x \right )}\right )^{\frac{3}{2}}}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(d*x+c)**2/(a+b*tan(d*x+c))**(3/2),x)

[Out]

Integral(cot(c + d*x)**2/(a + b*tan(c + d*x))**(3/2), x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \frac{\cot \left (d x + c\right )^{2}}{{\left (b \tan \left (d x + c\right ) + a\right )}^{\frac{3}{2}}}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate(cot(d*x+c)^2/(a+b*tan(d*x+c))^(3/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(cot(d*x + c)^2/(b*tan(d*x + c) + a)^(3/2), x)